Ungeschälte Kartoffeln mit fester Küchenbürste oder mit dem Messer gründlich schaben und waschen. In reichlich kochendem Salzwasser in ca. 8 Minuten garen, in ein Sieb abgießen und abkühlen lassen. Kartoffeln der Länge nach halbieren. Olivenöl in einer großen Pfanne erhitzen, Kartoffelhälften zugeben. Knoblauchzehen schälen, quer in Scheiben schneiden, unter die Kartoffeln mischen. Alles unter Rühren 6 bis 8 Minuten goldbraun braten. Kirschtomaten waschen, mit Küchenpapier trocken tupfen und halbieren. Tomaten zu den Kartoffeln in die Pfanne geben und ca. 3 Minuten mitbraten. Den Balsamico und die Gemüsebrühe über die Kartoffeln träufeln, mit Salz und Pfeffer würzen, alles noch einmal gut vermischen und noch 2 bis 3 Minuten braten. Rapsöl in einer zweiten, kleinen Pfanne erhitzen, die Basilikumblättchen hineingeben (Vorsicht, es spritzt!) und knusprig frittieren, Blätter auf Küchenpapier kurz abtropfen lassen. Balsamico-Kartoffeln mit den frittierten Basilikumblättchen auf Teller anrichten.